Добавить свой реферат
Сочинения
Рефераты
Краткие изложения
Видеоконференции в сети INTERNET
myhep

[url=https://proektgn.com/]велпанат[/url]
 Rogerwhaky 2018-11-21
Видеоконференции в сети INTERNET
myhep

[url=https://proektgn.com/]даклатасвир[/url]
 DewayneAgila 2018-11-21
Методика обучения письму
Бинокль Canon и часы SwissArmy в подарок
https://clck.ru/EXxBe
Мощный японский бинокль для...
 Davidmor 2018-11-21
Организация кафе
Если Вы мечтаете о теплом, уютном и светлом загородном доме, обращайтесь к нам! Мы поможем Вам...
 JamesPoodo 2018-11-21
Great Britain and Kazakhstan
Принимайте пачку мануалов по заработку - https://vk.cc/8IL9BZ
 Gregoryror 2018-11-20
 
 

Математика  -  Теория вероятности

Раздел: Рефераты >> Математика

Математический аппарат современной экономики часто используется на основе традиционной теории вероятности, однако сама теория вероятности основана на системе аксиом. Для этой теории характерна частотная интерпретация вероятности события: мы не знаем, каков будет исход данного конкретного эксперимента, но знаем, какова доля того или иного исхода во множестве всех возможных исходов эксперимента, многократно поставленного при неизменных начальных условиях. В теории вероятности предполагается, что случайные величины распределены по некоторому распределению. В этом случае расчеты существенно упрощаются. Такое предположение не лишено оснований, скажем, при планировании инвестиций, при моделировании физических процессов (существует теорема о том, что среднее от независимых случайных величин, распределенных по произвольным законам, распределено по Гауссу). Итак, в своем эссе я рассмотрю случайные величины и функции распределения.
Случайные величины
Определение. Пусть произвольное вероятностное пространство.
Случайной величиной называется измеримая функция , отображающая в множество действительных чисел , т.е. функция, для которой прообраз любого борелевского множества есть множество из -алгебры .
Примеры случайных величин. 1) Число выпавшее на грани игральной кости.
2) Размер выпускаемой детали. 3) Расстояние от начала координат до случайно брошенной в квадрат точки .
Множество значений случайной величины будем обозначать , а образ элементарного события . Множество значений может быть конечным, счетным или несчетным.
Определим -алгебру на множестве . В общем случае -алгебра числового множества может быть образована применением конечного числа операций объединения и пересечения интервалов или полуинтервалов вида (), в которых одно из чисел или может быть равно или .
В частном случае, когда дискретное (не более чем счетное) множество, -алгебру образуют любые подмножества множества , в том числе и одноточечные.
Таким образом -алгебру множества можно построить из множеств или , или .
Будем называть событием любое подмножество значений случайной величины : . Прообраз этого события обозначим . Ясно, что ; ; . Все множества , которые могут быть получены как подмножества из множества , , применением конечного числа операций объединения и пересечения, образуют систему событий. Определив множество возможных значений случайной величины и выделив систему событий , построим измеримое пространство . Определим вероятность на подмножествах (событиях) из таким образом, чтобы она была равна вероятности наступления события, являющегося его прообразом: .
Тогда тройка назовем вероятностным пространством случайной величины , где
множество значений случайной величины ; -алгебра числового множества ; функция вероятности случайной величины .
Если каждому событию поставлено в соответствие , то говорят, что задано распределение случайной величины . Функция задается на таких событиях (базовых), зная вероятности которых можно вычислить вероятность произвольного события . Тогда событиями могут быть события .
Функция распределения и ее свойства
Рассмотрим вероятностное пространство , образованное случайной величиной .
Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция действительного переменного , определяющая вероятность того, что случайная величина примет в результате реализации эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа :
(1)
Там где понятно, о какой случайной величине , или идет речь, вместо будем писать . Если рассматривать случайную величину как случайную точку на оси , то функция распределения с геометрической точки зрения это вероятность того, что случайная точка в результате реализации эксперимента попадет левее точки .
Очевидно что функция при любом удовлетворяет неравенству . Функция распределения случайной величины имеет следующие свойства:
2) Функция распределения неубывающая функция , т.е. для любых и , таких что , имеет место неравенство .
Доказательство. Пусть и и . Событие, состоящее в том, что примет значение, меньшее, чем , представим в виде объединения двух несовместных событий и : .
Тогда согласно аксиоме 3 Колмогорова, или по формуле (1)
, (2)
откуда , так как . Свойство доказано.
Теорема. Для любых и вероятность неравенства вычисляется по формуле
(3)
Доказательство. Справедливость формулы (3) следует из соотношения (2). Таким образом, вероятность попадания случайной величины в полуинтервал равна разности значений функции распределения вычисленных на концах полуинтервала и .
2) ; .
Доказательство. Пусть и две монотонные числовые последовательности, причем , при . Событие состоит в том, что . Достоверное событие эквивалентно объединению событий :
; .
Так как , то по свойству вероятностей , т.е. .
Принимая во внимание определение предела, получаем ;
3) Функция непрерывна слева в любой точке ,
Доказательство. Пусть любая возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к . Тогда можно записать:
На основании аксиомы 3
Так как ряд справа состоит из положительных чисел и сходится к , то остаток ряда, начиная с некоторого номера , будет меньше , (теорема об остатке ряда)
.
Используя формулу (3), выразим вероятности событий через функцию распределения. Получим
,
откуда или , а это означает, что .
Из рассмотренных свойств следует, что каждая функция распределения является 1) неубывающей, 2) непрерывной слева и 3) удовлетворяет условию и . И, обратно, каждая функция, обладающая свойствами 1), 2), 3), может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.
Теорема. Вероятность того, что значение случайной величины больше действительного числа , вычисляется по формуле .
Доказательство. Достоверное событие представим в виде объединения двух несовместных событий и . Тогда по 3-1 аксиоме Колмогорова или , откуда следует искомая формула.
Определение. Будем говорить, что функция распределения имеет при скачок , если , где и пределы слева и справа функции распределения в точке .
Теорема. Для каждого из пространства случайной величины имеет место формула
Доказательство. Приняв в формуле (3) , и перейдя к пределу при , , согласно свойству 3), получим искомый результат.
Можно показать, что функция может иметь не более чем счетное число скачков. Действительно функция распределения может иметь не более одного скачка , скачков не более 3-х, скачков не более чем .
Иногда поведение случайной величины характеризуется не заданием ее функции распределения, а каким-либо другим законом распределения, но так, чтобы можно было получить из этого закона распределения функцию распределения .
Размер: 6 Kb
Закачек:0
Отзывов:пока нет
Скачать 
Мнения о реферате:
Ваше имя
Комментарий
 Рекомендую
 Нейтральный
 Не рекомендую
Самые популярные из раздела Рефераты >> Математика
Рефераты >> Математика >> Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства107 Kb
скачать
Читать полностью
Рефераты >> Математика >> Обработка результатов экспериментов и наблюдений87 Kb
скачать
Читать полностью
Рефераты >> Математика >> Корреляционно-регрессионный, факторный и компонентный анализы деятельности предприятии53 Kb
скачать
Читать полностью
Рефераты >> Математика >> Исследование движений плоскости и некоторых их свойств50 Kb
скачать
Читать полностью
Рефераты >> Математика >> Комплексное число в школе87 Kb
скачать
Читать полностью